妹妹顶替姐姐出国留学是严重的违法违规行为，需要及时采取措施纠正，具体如下：
- 主动坦白并承担责任
- 向相关机构坦白：应尽快向学校、留学中介机构（如有）和教育行政部门等说明情况，承认错误。例如妹妹可以和姐姐一起到学校的国际交流部门，如实告知工作人员顶替留学的事实。
- 接受相应处罚：根据具体情况，可能会面临不同的处罚。在刑事方面，顶替他人取得高等学历教育资格等行为，可能构成冒名顶替罪，会面临三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处罚金。在行政方面，可能会被处以罚款，如根据《护照法》，弄虚作假骗取护照的，由公安机关处二千元以上五千元以下罚款。同时，妹妹通过顶替获得的留学资格、学历学位等会被取消。
- 弥补姐姐的损失
- 恢复姐姐身份和权益：协助姐姐恢复其应有的留学资格或其他受影响的权益。如果姐姐原本有留学计划但被妹妹顶替，要与相关机构沟通，看是否能重新为姐姐办理留学手续，让姐姐能够继续完成学业。
- 给予经济赔偿：对于姐姐因妹妹顶替行为所遭受的经济损失，如姐姐为留学准备的费用、错过留学机会导致的潜在经济损失等，妹妹应给予赔偿。如果姐姐因妹妹的行为产生了精神损害，也可以通过法律途径要求妹妹给予一定的精神损害赔偿。
- 加强法律教育和道德反思
- 学习法律知识：妹妹和家人应认真学习相关法律法规，了解冒名顶替行为的违法性和严重性，避免今后再发生类似的违法行为。可以通过参加法律讲座、阅读法律书籍和案例等方式，增强法律意识。
- 进行道德反思：从道德层面反思这种行为的错误性，树立正确的价值观和道德观，明白诚实、守信是做人的基本准则，尊重他人的权利和机会是每个人应尽的责任。
在处理此类问题时，建议咨询专业的律师，以了解具体的法律责任和处理方式，确保问题得到妥善解决。